特任研究員
	伊藤　昇
	Researcher Noboru Ito
	所属：	東京大学 大学院数理科学研究科, ICMS
	専門分野：	数学, トポロジー

研究概要

結び目、曲線における複雑さの計測と逆問題の解決

局所的なランドマークを調べることにより、全体の構造をどれほど捉えることができるか、ということは、トポロジー理論が成長する過程で獲得してきた人類の叡智です。人間が想像もできないほどの複雑な図形でもトポロジーの力を使うとその概形を掴むことができます。世の中には生命体といった分解し難いもの、あるいは大量すぎる情報といった分解の仕方がわからないようなものが多々ありますが、それらを分解せずとも調べ抜いてしまうのが、トポロジーの与える関数たちです。このようなトポロジカルな関数値による「形の分析」を私は「トポロジーにおける逆問題」と呼ぶことにして研究を進めています。

１次元、２次元、３次元の図形、というものは人間が生きていく中で親しみのあるものですが、いずれも結び目や曲線を使って研究する手法が開発されています。結び目は曲線の一例であり、研究手法が確立されている一方、より一般の状況、すなわち曲線を考えると一つ間違えればすぐに人類の未知の領域に迷い込むことになります。私は最近、幾何・物理における量子化の由緒正しい手法を用いて曲線を調べ上げる（すなわち、曲線の複雑さを計測する）関数を無限個作成する方法論を発見し開発しました。この独自の方法を用いると、社会的課題の数理モデルに効果的にアタックすることが可能となります。本研究所では本プロジェクトが直面する諸々の問題をトポロジーにおける逆問題として精度よくカスタマイズし「コンピューターあるいは人間が解答可能な数学の問題」に落とし込むことを目指します。

原著論文(査読有)

1. N. Ito, S. Matsuzaki, and K. Taniyama, Circle arrangements of link projections, Kobe J. Math., accepted.
2. N. Ito, Based chord diagrams of spherical curves, Kodai Math. J., accepted.
3. N. Ito and Y. Takimura, Thirty-two equivalence relations on knot projections, Topology Appl. 225 (2017), 130--138.
4. N. Ito and Y. Takimura, Strong and weak (1, 2) homotopies on knot projections and new invariants, Kobe J. Math., 33 (2016), 13--30.
5. N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under (1, 3) homotopy, Toplogy Appl. 210 (2016), 22--28.
6. N. Ito and Y. Takimura, Triple chords and strong (1, 2) homotopy, J. Math. Soc. Japan 68 (2016). 637--651.
7. K. Hayano and N. Ito, A new aspect of the Arnold invariant J+ from a global viewpoint, Indiana Univ. Math. J. 64 (2015), 1343--1357.
8. N. Ito and Y. Takimura, Knot projections with reductivity two, Topology Appl. 193 (2015), 290--301.
9. N. Ito and Y. Takimura, Strong and weak (1, 2, 3) homotopies on knot projections, Internat. J. Math. 26 (2015), 1550069 (8 pages).
10. N. Ito, Y. Takimura, and K. Taniyama, Strong and weak (1, 3) homotopies on knot projections, Osaka J. Math. 52 (2015), 617--646.
11. N. Ito and Y. Takimura, Sub-chord diagrams of knot projections, Houston J. Math. 41 (2015), 701--725.
12. N. Ito, A colored Khovanov bicomplex, Banach Center Publ. 103 (2014) 111--143.
13. N. Ito and Y. Takimura, (1, 2) and weak (1, 3) homotopies on knot projections, J. Knot Theory Ramifications 22 (2013), 1350085, 14pp.
    [N. Ito and Y. Takimura, Addendum: (1, 2) and weak (1, 3) homotopies on knot projections, J. Knot Theory Ramifications 23 (2014), 1491001, 2pp.]
14. N. Ito, Survey and remarks on Viro's definition of Khovanov homology, 9--19, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B39, Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, 2013.
15. N. Ito, Jones polynomials of long virtual knots, J. Knot Theory Ramifications 22 (2013), 135002, 17pp.
16. N. Ito and A. Shimizu, The half-twisted splice operation on reduced knot projections, J. Knot Theory Ramifications, 21 (2012), 1250112, 10pp.
17. A. Gibson and N. Ito, Finite type invariants of nanowords and nanophrases, Topology Appl. 158 (2011), 1050 -- 1072. (2011/5)
18. N. Ito, Chain homotopy maps for Khovanov homology, J. Knot Theory Ramifications 20 (2011), 127--139.
19. N. Ito, Construction of invariants of curves and fronts using word theory, J. Knot Theory Ramifications 19 (2010), 1205--1245.
20. N. Ito, Finite-type invariants for curves on surfaces, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 85 (2009), 129--134.

著書

1. N. Ito, "Knot projections", CRC Press (Taylor & Francis Group), 224 pages, December 1, 2016.
2. 伊藤昇, 結び目理論の圏論（仮題）, 日本評論社, 近刊予定

連載記事

1. 伊藤昇, ２０１６年結び目の旅, 数学セミナー10月号—3月号, 日本評論社

受賞関係

1. 日本学生支援機構「特に優れた業績による返還免除」, 2007
2. JSPS 海外特別研究員派遣予定者, 2013（大学規定による辞退）
3. Simons Center for Geometry and Physics, 2015, 3—4, 5--6, 招聘研究者